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QUELLE VITESSE LE HASARD APPARAT-IL ?

 


MATHÉMATIQUES
À quelle vitesse le hasard apparaît-il ?


mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°457 daté novembre 2011 à la page 18 (606 mots) | Gratuit
Des mathématiciens niçois ont quantifié la façon dont un algorithme, inventé il y a cinquante ans, permet de s'approcher d'un tirage au hasard.

Le hasard peut-il être produit par un algorithme ?

L.M. De manière approchée. Nous avons travaillé sur un algorithme permettant de simuler une certaine loi de probabilité, imaginée dans les années 1950 notamment par l'Américain Nicholas Metropolis, qui lui a donné son nom. Cet algorithme est très utilisé dans des calculs numériques de toutes sortes en raison de son efficacité pratique. Toutefois, dans la plupart des cas, on ignorait sa vitesse de convergence théorique, c'est-à-dire après combien d'itérations de l'algorithme on arrive bien à « simuler le hasard ». C'est cette vitesse de convergence que nous avons pu estimer dans un cadre assez général.

Qu'entend-on par « hasard » ?

L.M. Il s'agit d'une notion de probabilité bien définie. Raisonnons sur un ensemble fini. Sur cet ensemble, on suppose qu'il existe une mesure de probabilité, c'est-à-dire qu'à chaque élément de l'ensemble est associé un nombre et que la somme de tous les nombres est égale à 1. On cherche à échantillonner cet ensemble, autrement dit à tirer des éléments au hasard dans l'ensemble de départ de manière que ces éléments obéissent à peu près à la mesure de probabilité de cet ensemble. La difficulté vient que, souvent, la mesure de probabilité n'est pas entièrement connue. Or dans de nombreuses situations, l'algorithme de Metropolis permet d'obtenir ce tirage au hasard, cet échantillonnage aléatoire lire « Un algorithme pour les simulations », ci-contre.

L'algorithme de Metropolis est-il encore utilisé ?

L.M. Il est très utilisé dans toutes les méthodes dites de Monte-Carlo, lorsqu'il s'agit d'estimer un résultat numérique en se fondant sur la fabrication d'un échantillon aléatoire. À l'origine, l'idée était de placer au hasard des disques disjoints dans un domaine borné, ce qui a ouvert la voie à l'étude numérique des transitions de phases en physique. Le décodage des textes ou les méthodes de Monte-Carlo à « chaînes de Markov », très courantes en statistique, sont également des domaines où ce type d'algorithme fait merveille.

Comment vous êtes-vous intéressé à ce problème de probabilité ?

L.M. Lors d'un long séjour à Nice, le probabiliste Persi Diaconis, de l'université Stanford, nous a révélé ce problème. Lors de nos discussions, nous nous sommes aperçus que des outils d'analyse dont nous disposions, notamment la théorie spectrale et l'analyse microlocale, permettaient d'attaquer ce problème. Persi Diaconis avait déjà travaillé à ce problème dans le cas d'un ensemble fini, mais ses méthodes étaient insuffisantes pour traiter le cas d'un espace infini et même continu. Il est apparu que, si l'on considérait le cas de petits déplacements dans les mouvements élémentaires de l'algorithme, les outils d'analyse semi-classique permettaient d'attaquer

le problème.

Quelle méthode avez-vous utilisée ?

L.M. Imaginons un cube une « boîte », dans lequel on place de petites sphères qui ne se recouvrent pas et qui doivent rester à l'intérieur de la boîte. L'ensemble sur lequel on raisonne est alors l'ensemble de toutes les configurations possibles de toutes ces sphères à l'intérieur de la boîte. Contrairement au cas fini mentionné au début, c'est un ensemble infini qui a une topologie très compliquée. Cependant, on peut construire sur cet ensemble un opérateur naturel, qui est une sorte de matrice infinie. En analysant certaines caractéristiques de cet opérateur ce que l'on appellerait les « valeurs propres » de la matrice, nous avons pu estimer la convergence : au bout de n itérations de l'algorithme, la différence entre le tirage au hasard et celui issu de l'itération est proportionnel à e- n a où a est une constante liée à l'opérateur [1] .

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

 

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VARISTE GALOIS

 


MATHÉMATIQUES
L'héritage vivant d'Évariste Galois
mathématiques - par Propos recueillis par Philippe Pajot dans mensuel n°456 daté octobre 2011 à la page 18 (607 mots) | Gratuit
Deux siècles après la naissance d'Évariste Galois, les idées de ce mathématicien mort à 21 ans continuent d'être fécondes, notamment dans la détermination des propriétés arithmétiques et algébriques des structures mathématiques.

Les travaux d'Évariste Galois sont-ils toujours d'actualité ?

C.E. Plus que jamais. Il est sans doute le mathématicien le plus connu du grand public en raison de sa vie brève et romanesque, mais il est aussi l'un des mathématiciens qui a le plus inspiré ses successeurs. La théorie de Galois issue de ses idées est aujourd'hui l'un des piliers de l'algèbre moderne. Il est impossible de citer tous les développements qu'elle a engendrés, mais beaucoup sont liés aux méthodes utilisées par Andrew Wiles pour démontrer le théorème de Fermat en 1995 par exemple voir l'encadré. Le programme de Langlands, qui vise à relier la théorie des nombres aux représentations de certains groupes, fait également partie de ces développements.

A-t-il beaucoup publié ?

C.E. De sa brève période active, entre 1829 et sa mort en mai 1832, il nous reste peu d'écrits de sa main. Certains articles ont été publiés de son vivant. Mais son travail le plus achevé consiste en trois mémoires envoyés à l'Académie des sciences. Il s'agit de trois versions de son travail sur la résolubilité des équations algébriques du type x 4 + x 3 + 1 = 0 par exemple. Il y met au point un procédé reposant sur la notion de substitution des racines d'une équation et introduit la notion de groupe d'une équation. La première version est envoyée à Augustin Cauchy, qui lui conseille de le retravailler et de le présenter au Grand Prix de l'Académie des sciences. Cette deuxième version, soumise à Joseph Fourier, est perdue Fourier meurt et le mémoire n'est pas retrouvé dans ses papiers. Galois envoie enfin en janvier 1831 une version retravaillée qui fait l'objet d'un rapport en demi-teinte par Poisson et Lacroix.

Pourquoi sont-ils réservés ?

C.E. Leur rapport mitigé, qui refuse la publication de ses travaux mais l'encourage tout de même à persévérer, montre que la portée de ceux-ci n'a pas tout de suite été comprise. Plusieurs facteurs l'expliquent. D'abord, ce mémoire n'abordait pas le problème de la résolubilité sous l'angle auquel on était habitué à l'époque. Ce mémoire assez court n'avait pas non plus la forme des mémoires très complets qui étaient soumis à l'Académie. Galois avait reçu aussi plusieurs critiques sur le manque de clarté de sa rédaction.

Comment ont été diffusées ses idées ?

C.E. Alfred, le jeune frère de Galois, et son ami Auguste Chevalier ont rassemblé les écrits de Galois et les ont soumis à Joseph Liouville. Ce dernier a publié les travaux de Galois en 1846, ce qui leur a assuré une certaine notoriété. À partir du milieu du XIXe siècle, des mathématiciens comme Richard Dedekind, Camille Jordan et Joseph-Alfred Serret se sont réapproprié le mémoire sur la théorie des équations. Serret est notamment l'auteur d'un manuel d'algèbre très diffusé à travers l'Europe, et Jordan d'un ouvrage de référence sur le sujet. À la fin du XIXe siècle, dans le contexte de l'internationalisation de la recherche en mathématiques, les échanges d'idées s'accélèrent. Dans les universités naissantes, la théorie des équations de Galois entre dans l'enseignement.

L'utilise-t-on dans les mêmes termes aujourd'hui ?

C.E. Au XXe siècle, les recherches de Galois ont été remaniées par les travaux de ses successeurs. Les plus célèbres de ces remaniements sont sans doute ceux opérés par Emil Artin, dans les années 1930, et par Alexandre Grothendieck, quelques décennies plus tard. Dès lors, la théorie de Galois a pris une tournure formelle qui lui a permis de faire partie de l'actualité des mathématiques jusque très récemment.

Par Propos recueillis par Philippe Pajot

 

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UN ALGORITHME POUR DCOUVRIR LES LOIS DE LA NATURE

 


MATHÉMATIQUES


Un algorithme pour découvrir des lois de la nature


mathématiques - par Benoît Rittaud dans mensuel n°431 daté juin 2009 à la page 28 (458 mots) | Gratuit
Deux chercheurs viennent de publier un algorithme pour produire, à partir de données tirées de l'expérience, un système d'équations simples permettant de décrire physiquement celle-ci.

Michael Schmidt et Hod Lipson, de l'université Cornell aux États-Unis, ont conçu un algorithme qui pourrait permettre aux scientifiques de différents domaines de gagner un temps précieux dans leurs travaux [1] . Une bonne partie du travail de recherche consiste en effet à trouver comment sont liées entre elles les données dont on dispose. Par exemple, Galilée, au XVIIe siècle, a trouvé comment lier la distance d parcourue par un corps en chute libre au temps t écoulé depuis le début de la chute : la formule est d = 1/2 gt 2, où g est une constante.

Dans le cas de systèmes plus complexes, il est parfois extrêmement difficile de trouver une formule qui fait le lien mathématique entre des données. Une idée est alors de mettre l'ordinateur à contribution, en lui faisant tester un grand nombre de formules jusqu'à ce qu'il tombe sur une qui donne satisfaction. Ce genre de procédure, qui existe depuis longtemps, se heurte malheureusement à plusieurs difficultés ; on pense évidemment au cas où l'ordinateur ne trouve rien, mais il arrive aussi qu'il trouve trop de formules, toutes plus compliquées les unes que les autres, et dont le lien avec les données ne soit qu'accidentel.

Pour éviter ce genre de problèmes, Michael Schmidt et Hod Lipson procèdent de la manière suivante. Ils collectent toutes les données du système à étudier, puis ils calculent la manière dont elles varient les unes par rapport aux autres, c'est-à-dire qu'ils en estiment de façon approchée les « dérivées partielles ». Ils fabriquent ensuite des formules mathématiques à tester, d'abord au hasard puis, à mesure que l'algorithme progresse, en tirant parti du travail déjà effectué. Une formule étant à tester, on en calcule les dérivées partielles, que l'on compare alors à celles fournies par les données. Par un processus convenable de sélection, l'algorithme ne retient alors que les formules les plus précises et les plus simples.

Pour tester leur algorithme, les deux chercheurs ont considéré un double pendule. Un pendule est une barre rigide qui peut osciller. À l'extrémité mobile de cette barre est fixée l'extrémité d'une seconde barre, qui peut elle aussi osciller par rapport à la première voir l'image. Les chercheurs ont relevé les données caractéristiques des mouvements d'un double pendule véritable, pour les soumettre à leur algorithme. Résultat : celui-ci a correctement trouvé sa « loi de conservation », qui permet de décrire ses mouvements.

Un tel algorithme finira-t-il par prendre la place des scientifiques ? On n'en est pas encore là, et les auteurs prennent soin d'ajouter que le travail d'interprétation des formules proposées par l'algorithme n'est, lui, pas du ressort des ordinateurs.

Par Benoît Rittaud

 

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LE NOMBRE PI

 

LE NOMBRE PI (2003)


Jean BRETTE, Chef du département mathématiques, accueille une classe dans la salle des mathématiques. Cette salle, très célèbre pour ses décimales de P inscrites en spirales au plafond, existe depuis la création du Palais de la découverte. Les premiers calculs avaient été effectués manuellement et avaient permis de déterminer les 704 premières décimales (dont en fait seules 527 étaient exactes ...) alors qu'actuellement on en connaît plus de 1400 milliards (avec un intérêt toujours purement anecdotique cependant). Cet exemple permet d'apprécier les progrès réalisés dans la puissance de calcul dont on dispose. Jean Brette montre à partir de raisonnements géométriques simples l'existence d'une constante Pi et ses propriétés mathématiques. Il donne, en partant de raisonnements que pouvait faire Archimède, quelques méthodes pour encadrer la valeur de Pi avec une précision donnée. Ces méthodes ont une valeur de généralité et sont à la base du calcul différentiel et intégral.

Générique
Réalisation : Jean-François Ternay Image : Luc Ronat, Claude Delhaye Son : Christophe Gombert Production CNRS Images/media Diffuseur : CNRS Diffusion vidéothèque, photothèque (lhoste@cnrs-bellevue.fr) © CNRS Images/media - 2003

 


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 ( si la vidéo n'est pas visible,inscrivez le titre dans le moteur de recherche de CANAL U )

 
 
 
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