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NOMBRES PREMIERS

 

Paris, 10 mai 2010

La somme des chiffres des nombres premiers est bien répartie
Il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire. Cette hypothèse formulée en 1968 vient d'être démontrée par des chercheurs de l'Institut de mathématiques de Luminy (CNRS/Université de la Méditerranée).
Un nombre premier est un nombre entier supérieur ou égal à 2 dont les seuls diviseurs entiers sont 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11,..., 1789,... sont des nombres premiers, alors que 9, divisible par 3, n'est pas un nombre premier.

De nombreux problèmes arithmétiques concernent les nombres premiers et la plupart d'entre eux sont sans réponse, parfois depuis plusieurs siècles. Par exemple, on sait depuis Euclide que la suite des nombres premiers est infinie, mais on ne sait toujours pas s'il existe une infinité de nombres premiers p tels que p+2 est aussi un nombre premier (problème des nombres premiers jumeaux). De même on ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers dont la représentation décimale n'utilise pas le chiffre 7.

Deux chercheurs de l'Institut de mathématiques de Luminy (CNRS/Université de la Méditerranée) viennent de faire une percée importante sur une conjecture formulée en 1968 par le mathématicien russe Alexandre Gelfond concernant la somme des chiffres des nombres premiers. Ils ont démontré en particulier qu'il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire.

Les méthodes mises en oeuvre pour obtenir ce résultat, issues de la combinatoire, de la théorie analytique des nombres et de l'analyse harmonique, sont très novatrices et devraient ouvrir la voie à la résolution d'autres questions difficiles concernant la représentation de certaines suites de nombres entiers.

En complément de leur intérêt théorique, ces questions sont directement liées à la construction de suites de nombres pseudo-aléatoires et ont des applications importantes en simulation numérique et en cryptographie.

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MAHEMATIQUES ET RECHERCHE

 

MATHEMATIQUES  ET  RECHERCHE

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LE TRAITEMENT DE L'IMAGE

 

Le traitement des images


Mon exposé est centré sur un aspect du traitement d'images, celui du traitement de l'information tridimensionnelle. Je prendrai comme point de départ les idées de David Marr dont l'influence a été déterminante à la fois sur les neurosciences de la vision et sur le traitement d'images ou la vision par ordinateur. L'idée selon laquelle la vision est notamment un problème de traitement de l'information qui peut être abordé en utilisant des contraintes assez générales issues de la physique et de la géométrie pour construire une représentation des surfaces des objets présents et de leurs mouvements s'est avérée extrêmement fructueuse tant du point de vue théorique pour répondre précisément à une partie de la question " qu'est-ce que voir ? " que du point de vue applicatif pour résoudre de nombreux problèmes où intervient la perception visuelle robotique au sens large, c'est-à-dire celle d'un système mécanique/informatique.

En me plaçant de trois points de vue, mathématique, algorithmique et biologique, je montrerai comment une combinaison d'indices visuels tels que les variations spatiales d'intensité et de texture, le mouvement, les contours d'occultation ou encore la stéréoscopie peut fournir de l'information sur la forme et le mouvement tridimensionnels des surfaces des objets. J'illustrerai mon propos par quelques exemples d'applications comme le calcul de l'orientation d'un robot dans l'espace, la génération de déplacements, la reconnaissance d'objets et la réalité augmentée.

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NOMBRES PREMIERS

 

Paris, 10 mai 2010

La somme des chiffres des nombres premiers est bien répartie
Il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire. Cette hypothèse formulée en 1968 vient d'être démontrée par des chercheurs de l'Institut de mathématiques de Luminy (CNRS/Université de la Méditerranée).
Un nombre premier est un nombre entier supérieur ou égal à 2 dont les seuls diviseurs entiers sont 1 et lui-même. Par exemple, 2, 3, 5, 7, 11,..., 1789,... sont des nombres premiers, alors que 9, divisible par 3, n'est pas un nombre premier.

De nombreux problèmes arithmétiques concernent les nombres premiers et la plupart d'entre eux sont sans réponse, parfois depuis plusieurs siècles. Par exemple, on sait depuis Euclide que la suite des nombres premiers est infinie, mais on ne sait toujours pas s'il existe une infinité de nombres premiers p tels que p+2 est aussi un nombre premier (problème des nombres premiers jumeaux). De même on ne sait pas s'il existe une infinité de nombres premiers dont la représentation décimale n'utilise pas le chiffre 7.

Deux chercheurs de l'Institut de mathématiques de Luminy (CNRS/Université de la Méditerranée) viennent de faire une percée importante sur une conjecture formulée en 1968 par le mathématicien russe Alexandre Gelfond concernant la somme des chiffres des nombres premiers. Ils ont démontré en particulier qu'il y a en moyenne autant de nombres premiers dont la somme des chiffres décimaux est paire que de nombres premiers pour lesquels elle est impaire.

Les méthodes mises en oeuvre pour obtenir ce résultat, issues de la combinatoire, de la théorie analytique des nombres et de l'analyse harmonique, sont très novatrices et devraient ouvrir la voie à la résolution d'autres questions difficiles concernant la représentation de certaines suites de nombres entiers.

En complément de leur intérêt théorique, ces questions sont directement liées à la construction de suites de nombres pseudo-aléatoires et ont des applications importantes en simulation numérique et en cryptographie.


Références :
Sur un problème de Gelfond : la somme des chiffres des nombres premiers, C. Mauduit, J. Rivat, Annals of Mathematics, Vol. 171 (2010), No. 3, 1591–1646, mai 2010
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