Paris, 23 MAI 2011

Les intuitions en géométrie sont-elles universelles ?

Tous les êtres humains seraient disposés à comprendre la géométrie élémentaire, indépendamment de leur culture ou de leur niveau d'éducation. Telle est la conclusion d'une étude réalisée par le CNRS, l'Inserm, le CEA, le Collège de France, l'université de Harvard ainsi que les universités Paris Descartes, Paris-Sud 11 et Paris 8 (1). Elle a été menée sur des Indiens d'Amazonie vivant dans un territoire isolé, n'ayant pas étudié la géométrie à l'école et dont la langue possède peu de vocabulaire géométrique. Leur compréhension intuitive des concepts géométriques élémentaires a été comparée à celle de populations ayant, au contraire, appris la géométrie à l'école. Les chercheurs ont ainsi mis en évidence que tous les êtres humains seraient capables de faire preuve d'intuitions en géométrie. Cette aptitude n'émergerait cependant qu'à partir de 6-7 ans. Elle pourrait être innée ou bien acquise jeune lorsque l'enfant appréhende l'espace qui l'entoure. Ces travaux sont publiés dans les PNAS.
La géométrie euclidienne permet de décrire l'espace en utilisant des plans, des sphères, des droites, des points, etc. Des « intuitions géométriques » peuvent-elles émerger chez tous les êtres humains, même en l'absence d'un apprentissage en géométrie ? Pour répondre à cette question, les chercheurs en sciences cognitives ont élaboré deux expériences permettant d'évaluer les performances en géométrie, quel que soit le niveau d'instruction. Le premier test consiste à répondre à des questions sur les propriétés abstraites des droites, en particulier leur caractère infini et leurs propriétés de parallélisme. Dans le second, il s'agit de compléter un triangle, en indiquant la position de son sommet ainsi que l'angle au niveau de ce sommet.

Pour mener à bien cette étude, il faut des participants n'ayant jamais étudié la géométrie à l'école, l'objectif étant de comparer leurs aptitudes à ces tests avec des personnes ayant appris cette discipline. Les chercheurs se sont intéressés à des Indiens Mundurucus, vivant en Amazonie dans un territoire isolé : 22 adultes et 8 enfants âgés de 7 à 13 ans. Certains participants n'avaient jamais été scolarisés, d'autres avaient été scolarisés pendant quelques années, mais aucun n'avait reçu d'instruction en géométrie. Afin d'introduire la géométrie auprès des Mundurucus, les scientifiques leur ont demandé d'imaginer deux mondes, l'un plat (« plan ») et le second rond (« sphère »), sur lesquels se trouvaient des villages (correspondant aux « points » en géométrie euclidienne) et des chemins (« droites »). Ils leur ont ensuite posé un ensemble de questions illustrées par des figures géométriques présentées sur un écran d'ordinateur. Les mêmes tests ont été soumis à une trentaine d'adultes et d'enfants originaires de France et des Etats-Unis, qui, contrairement aux Mundurucus, avaient étudié la géométrie à l'école.

Résultat : les Indiens Mundurucus se sont montrés tout à fait capables de résoudre les problèmes de géométrie, en particulier sur le plan. Par exemple, à la question « est-ce que deux chemins peuvent ne jamais se croiser ? », une très grande majorité a répondu « oui ». Leurs réponses au second test, celui du triangle, mettent en évidence le caractère « intuitif » d'une propriété essentielle en géométrie plane, à savoir le fait que la somme des angles des sommets d'un triangle est constante (égale à 180°). Et, dans un univers sphérique, il s'avère que les Indiens d'Amazonie répondent mieux que les Français ou les Nord-américains. Ces derniers auraient, de par l'apprentissage de la géométrie à l'école, acquis une plus grande familiarité avec la géométrie plane qu'avec la géométrie sphérique. Autre constat intéressant : de jeunes enfants nord-américains âgés entre 5 et 6 ans (n'ayant pas encore appris la géométrie à l'école) ont des résultats mitigés aux tests. Ce qui signifierait que l'appréhension de la géométrie s'acquiert à partir de 6-7 ans.

Les chercheurs suggèrent ainsi que tous les êtres humains sont disposés à comprendre la géométrie euclidienne, indépendamment de leur culture ou leur niveau d'éducation. Des personnes n'ayant pas ou peu reçu d'instruction pourraient donc appréhender des notions de géométrie comme le point ou les droites parallèles. Ces intuitions pourraient être innées (elles émergeraient alors à partir d'un certain âge, en l'occurrence 6-7 ans). Si, au contraire, ces intuitions résultent d'un apprentissage (réalisé entre la naissance et l'âge de 6-7 ans), celui-ci doit être basé sur des expériences communes à tous les êtres humains.

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Paris, 18 octobre 2010

Le CNRS rend hommage au mathématicien Benoît Mandelbrot, inventeur des fractales

Le mathématicien Benoît Mandelbrot, célèbre inventeur des fractales, est décédé à l'âge de 85 ans. Le CNRS rend hommage à ce génie des mathématiques qui y mena ses recherches entre 1949 et 1957.
« Benoît Mandelbrot était un visionnaire qui a su trouver des lois et de l'ordre dans des phénomènes d'apparence prodigieusement complexe », souligne Alain Fuchs, président du CNRS. « Il a fondé une vision géométrique de la complexité en développant la théorie des objets fractals, qui a eu des applications pour la synthèse d'image, la description de la turbulence, la finance et bien d'autres domaines encore ».

Benoît Mandelbrot est né en 1924 à Varsovie, en Pologne, dans une famille juive d'origine lithuanienne. Fuyant le nazisme, sa famille se réfugie à Paris en 1936 où il est initié aux mathématiques par deux de ses oncles. C'est le début d'une vocation et d'une carrière brillante et féconde en mathématiques. Reçu à l'École Polytechnique de Paris en 1944, il alterne ensuite des séjours aux États-Unis et en France, où il passe sa thèse en 1952. Il effectue ses recherches au CNRS de 1949 à 1957 puis est employé par la société américaine IBM en 1958 où il travaillera 35 ans. Il terminera sa carrière comme professeur à l'université de Yale.

Inventeur des fractales - ces objets géométriques qui ont la propriété d'être décomposés en fragments dont chacun a la même forme que le tout - ses travaux novateurs permettent une approche totalement nouvelle de certains problèmes grâce à une description géométrique. Il fut aussi un pionnier de l'utilisation de l'informatique comme outil d'expérimentation mathématique. La géométrie fractale dont il est le père fondateur avait pour objectif d'étudier et de classifier des phénomènes naturels que l'on pensait non susceptibles d'une modélisation mathématique, car présentant une très grande complexité à toutes les échelles, comme les flocons de neige, les nuages ou les côtes bretonnes... Ses travaux ont révolutionné notre façon de percevoir la nature et ouvert de nouveaux terrains de recherche à plusieurs branches des mathématiques (systèmes dynamiques, processus aléatoires...). Mais son apport le plus spectaculaire fut sans doute l'élaboration de concepts et d'outils mathématiques qui ont permis de dévoiler des correspondances insoupçonnées entre des parties de la Science aussi diverses que l'astronomie, la turbulence, la physique des matériaux, la géologie, l'hydrologie, la chimie, la médecine, l'économie, le traitement du signal et de l'image ou encore la linguistique. Benoît Mandelbrot a été à l'origine par exemple d'un modèle d'évolution des cours de la bourse basé sur la géométrie fractale.

Pour Guy Métivier, directeur de l'Institut national des sciences mathématiques et de leurs interactions du CNRS : « Benoît Mandelbrot était un esprit inclassable. Si l'« ensemble de Mandelbrot » est devenu l'un des plus fascinants objets des mathématiques et les « cascades de Mandelbrot » le modèle le plus utilisé de turbulence, ce scientifique universel a apporté des contributions profondes aussi bien en mathématiques, qu'en physique, chimie, économie... révélant, grâce à la géométrie fractale, des liens insoupçonnés entre ces disciplines... sans oublier sa critique féroce de l'utilisation en mathématiques financières du modèle de Black et Scholes, de nombreuses années avant que la crise ne lui donne raison ».

Il est l'auteur de nombreuses publications dont Les objets fractals, forme, hasard et dimension (1975) ou La géométrie fractale de la nature (1982), qui auront un grand retentissement, bien au-delà de la communauté scientifique. Scientifique visionnaire, Benoît Mandelbrot a été nommé Chevalier dans l'Ordre National de la Légion d'Honneur en 1989 puis promu Officier en 2006. Il a reçu les plus hautes distinctions internationales dont le prix Wolf en physique en 1993 et le Japan Prize for science and technology of complexity en 2003.

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Physique et mathématiques

La physique et les mathématiques sont étroitement mêlées depuis toujours. Tantôt c'est la première qui conduit à développer les mathématiques impliquées par les lois de la nature, tantôt des structures mathématiques élaborées sans référence au monde extérieur se trouvent être précisément adaptées à la description de phénomènes découverts pourtant postérieurement. C'est là l'efficacité déraisonnable des mathématiques dans les sciences de la nature dont parlait Eugène Wigner. Jamais les interactions entre physique et mathématiques n'ont été plus intenses qu'à notre époque, jamais la description des phénomènes naturels n'a requis des mathématiques aussi savantes qu'aujourd'hui. Pourtant il est important de comprendre la différence de nature entre ces deux disciplines. La physique n'établit pas de théorèmes ; jusqu'à présent elle se contente de modèles dont les capacités à prédire, et la comparaison avec l'expérience établissent la validité, avec une économie dans la description et une précision parfois confondantes. Néanmoins nous savons que tous les modèles dont nous disposons actuellement, toutes les lois, ne sont que des descriptions "effectives" comme l'on dit aujourd'hui, c'est-à-dire adaptées aux échelles de temps, de distance, d'énergie avec lesquelles nous observons, mais dont nous savons de manière interne, avant même que des phénomènes nouveaux les aient invalidées, qu'elles sont inaptes à aller beaucoup plus loin. Y aura t-il une description définitive qui, tel un théorème, s'appliquerait sans limitations? Ce rêve d'une théorie ultime, où la physique rejoindrait les mathématiques, caressé par certains, laisse beaucoup d'autres sceptiques ; quoiqu'il en soit la question ne sera certainement pas tranchée rapidement.

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Les fondements des mathématiques

"La "" crise des fondements "" s'ouvre en 1897 avec le paradoxe de Burali-Forti, une contradiction dans la toute jeune théorie des Ensembles. Parmi les solutions proposées, le "" Programme de Hilbert "" (~ 1925) accorde un rôle privilégié à la non-contradiction formelle. Le théorème d'incomplétude de Gödel (1931), qui réfute le programme de Hilbert, a fait le désespoir de tous ceux qui cherchaient une réponse définitive à leurs angoisses fondationnelles. Il a aussi gêné ceux qui cherchaient plus simplement à comprendre la nature des objets mathématiques. Ce n'est qu'avec le développement de l'informatique qu'ont pu se dégager de nouveaux axes de lecture, en rupture de plus en plus nette avec le réductionnisme Hilbertien. "

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